V znázornenom prípade sa číslo c = 0,3713 + 0,3544*i, číslo z = 0,3835 + 0,6175*i a f(z) = 0,1371 + 0,8280*i. Najprv sa zo z vypočítalo číslo z² (spodný modrý vektor) a k nemu sa pripočítalo číslo c (horný modrý vektor). V konečnom dôsledku funkcia f priradila číslu z číslo f(z).

Ak z = z_r + z_i *i a c = c_r + c_i * i,
tak f(z) = (z_r² – z_i² + c_r) + (2*z_r*z_i + c_i) * i

Úloha E1
Zájdite kurzorom myši nad zobrazovaciu plochu appletu. Všimnite si, že v jej pravom dolnom rohu sa objaví rámček, v ktorom je vypísané komplexné číslo, ktoré sa nachádza pod kurzorom. Kurzor sa pritom zmení na krížik.
V zobrazovacej ploche appletu je znázornený výrez Gaussovej roviny spolu s reálnou a imaginárnou osou. V Gaussovej rovine je sivou farbou znázornená kružnica so stredom v počiatku Gaussovej roviny. Zistite pomocou kurzora myši, aký má polomer! Vyšlo vám 2? Potom ste merali dobre!

Úloha E2
Stlačte raz tlačítko ĎALŠÍ ČLEN. Čiernou farbou sa nakreslí člen pomocnej postupnosti z₁, ktorý sa rovná c. Modrou farbou je znázornený grafický súčet vektorov z₀² (stále 0) a c.
Znovu stlačte tlačítko ĎALŠÍ ČLEN. Pribudne člen postupnosti z₂. Jeho hodnotu zistíte tak, že zájdete myšou nad jeho koniec. Kurzor myši sa zmení na obyčajnú šípku a komplexné číslo vypísané v pravom dolnom rohu zobrazovacej plochy sa zvýrazní. Čomu sa rovná z₂? Vyšlo vám z₂ = 0,7100 – 0,4000 * i ? Overte sami tento výsledok svojím vlastným výpočtom!

Úloha E3
Čomu sa bude rovnať člen z₃? Najprv ho vypočítajte a potom svoj výpočet overte stlačením tlačítka ĎALŠÍ ČLEN!

Úloha E4
Pomocnú postupnosť môžete v applete zobraziť pomocou vektorov aj pomocou jej orbity. To, čo sa má zobrazovať nastavíte zaškrtnutím, alebo odškrtnutím zaškrtávacích políčok v časti ovládacieho panelu s názvom ZOBRAZIŤ. Skúste si to! Zobrazte len orbitu a potom len vektory! Nastavte potom späť zobrazenie vektorov aj orbity.

Úloha E5
Stlačte ešte dvakrát tlačítko ĎALŠÍ ČLEN! Čo sa stalo? Orbita pomocnej postupnosti prekročila hraničnú kružnicu. Applet v spodnej časti vypísal pri ktorom člene postupnosti sa to stalo. Navyše vypísal záhadné tvrdenie: Postupnosť už s istotou porastie nad všetky medze! Číslo c = 0,5000 – 0,2000 * i určite nepatrí do Mandelbrotovej množiny.

Ak orbita pomocnej postupnosti prekročí hraničnú kružnicu, číslo c, ktorým je postupnosť daná, nepatrí do Mandelbrotovej množiny.

Číslo c, ktorým je pomocná postupnosť daná, nepatrí do Mandelbrotovej množiny práve vtedy keď orbita postupnosti prekročí hraničnú kružnicu.

Číslo c, ktorým je pomocná postupnosť daná, patrí do Mandelbrotovej množiny práve vtedy keď orbita postupnosti nikdy neprekročí hraničnú kružnicu.

Úloha E6
Teraz preskúmate sami inú pomocnú postupnosť. Zájdite myšou nad zobrazovaciu plochu. Nastavte sa (pozor na presnosť!!!) nad číslo 0,4100 + 0,3100 * i. Teraz myšou na toto miesto kliknite. Stará postupnosť komplexných čísel sa zmaže a zobrazí sa nový červený vektor c. Stláčaním tlačítka ĎALŠÍ ČLEN zistite, či postupnosť, ktorá mu prislúcha prekročí alebo neprekročí hraničnú kružnicu. Ak ju prekročí, tak v ktorom člene? Ak chcete veci urýchliť, stláčajte namiesto tlačítka ĎALŠÍ ČLEN tlačítko 10 ČLENOV. Po jeho stlačení sa vypočíta nasledujúcich 10 členov postupnosti. Tak čo? Leží c v Mandelbrotovej množine, alebo neleží?

Úloha E7
Zvoľte teraz na applete kliknutím číslo c = – 0,5100 + 0,5800 * i. Zistite stláčaním tlačítka 10 ČLENOV, ako sa správa pomocná postupnosť prislúchajúca tomuto c. Kliknite aspoň 26 krát! Čo sa stalo? Postupnosť hraničnú kružnicu neprekročila a applet vypísal: 255. člen. Počet členov presiahol maximálnu hodnotu. Výpočet nebude pokračovať. Číslo c = – 0,5100 + 0,5800 * i pravdepodobne patrí do Mandelbrotovej množiny.

Úloha E8
Stlačte na applete tlačítko POZADIE. Applet zafarbí body Gaussovej roviny hore popísaným spôsobom. Biela farba bodu znamená, že bod do Mandelbrotovej nepatrí (orbita prekročila hraničnú kružnicu), sivá farba bodu znamená, že bod do Mandelbrotovej množiny patrí (postupnosť vo svojich prvých 256 členoch neprekročila hraničnú kružnicu). Ako sa vám pozdáva výsledok? Spoznávate ju?

Úloha E9
Zvoľte číslo c na hlavnej kardiotide (najväčší útvar podobný srdcu, z ktorého vyrastajú kruhové výhonky) Mandelbrotovej množiny. Napríklad vyberte hodnotu c = 0,1000 + 0,3700 * i. Odškrtnite zaškrtávacie políčko VEKTORY, tak, aby applet zobrazoval len orbitu. Začnite opakovane stláčať tlačítko 10 ČLENOV. Ako sa správa orbita? Ako sa bude správať orbita, keď zvolíte číslo c z inej časti hlavnej kardiotidy?

Úloha E10
Zvoľte číslo c na kruhovom výhonku naľavo od hlavnej kardiotidy. Napríklad vyberte hodnotu c = –1,0700 + 0,1400 * i. Začnite opakovane stláčať tlačítko 10 ČLENOV. Ako sa správa orbita? Ako sa bude správať orbita, keď zvolíte číslo c v inom bode tohto kruhového výhonku?

Úloha E11
Zvoľte číslo c na kruhovom výhonku hore nad hlavnou kardiotidou. Napríklad vyberte hodnotu c = –0,1300 + 0,7600 * i. Začnite opakovane stláčať tlačítko 10 ČLENOV. Ako sa teraz správa orbita? Ako sa bude správať, keď zvolíte číslo c v inom bode tohto kruhového výhonku?

Úloha E12
Zvoľte číslo c = 0,2400 + 0,5100 * i. Začnite opakovane stláčať tlačítko 10 ČLENOV. Ako sa tentoraz správa orbita?

Úloha E13 (posledná)
Ste v podobnej situácii ako boli objavovatelia bielych miest na mape Afriky z predchádzajúcich storočí. Skúste teraz sami zmapovať periódy limitných cyklov, na ktorých sa orbita usádza, v závislosti na zvolenom kruhovom výhonku. Aby ste Mandelbrotovu množinu lepšie videli, stlačte v časti ZOOM trikrát tlačítko + a potom stlačte tlačítko POZADIE. Vyberajte si body z veľkých, ale aj z malých kruhových výhonkov! Svoje pozorovania zakreslite do podobnej mapky ako je tá dole.

Definícia: (Mandelbrotova množina)
Nech c je číslo z komplexnej roviny. Nech postupnosť
{z₀, z₁, z₂, z₃, ...}
je daná rekurentne vzťahmi:
z₀ = 0
z_n+1 = f(z_n),
kde f je funkcia f(z) = z² + c.
Množinu všetkých čísel c z komplexnej roviny, pre ktoré je postupnosť {z₀, z₁, z₂, z₃, ...} ohraničená, nazývame Mandelbrotova množina.

Lema 1 (Trojuholníková nerovnosť)
Pre každé dve komplexné čísla a a b platí
|a + b| ≤ |a| + |b|

Dôkaz:
Vyplýva z dolného obrázka a z trojuholníkovej nerovnosti známej z geometrie, ktorá hovorí, že súčet dĺžok dvoch strán trojuholníka je vždy väčší ako dĺžka tretej strany.

Lema 2 (Modifikovaná trojuholníková nerovnosť)
Pre každé dve komplexné čísla a a b platí
|a + b| ≥ |a| – |b|

Dôkaz:
Podľa lemy 1 platí
|a| = |(a + b)+(–b)| ≤ |a + b| + |–b| = |a + b| + |b|
To znamená, že
|a| ≤ |a + b| + |b|
Po odčítaní |b| od oboch strán nerovnosti dostaneme
|a| – |b| ≤ |a + b|
q.e.d.

Veta o veľkosti hraničnej kružnice
Majme danú funkciu f(z) = z² + c. Nech c je nejaké komplexné číslo. Ďalej nech {z₀, z₁, z₂, z₃, ...} je postupnosť komplexných čísel daná rekurentne vzťahmi
z₀ = 0
z_n+1 = f(z_n)
Ak bude pre nejaký (konkrétne k–ty) člen postupnosti platiť, že
|z_k| >2,
tak ďalšie členy postupnosti sa už budú zväčšovať nad všetky medze. Taká postupnosť bude neohraničená.

Dôkaz:
Rozdelíme si ho na dva prípady. Buď je |c| ≤ 2, alebo je |c| > 2.

a.) Prípad |c| ≤ 2

Nech z_k je prvý taký člen postupnosti, ktorý spĺňa nerovnosť |z_k| >2. Pozrieme sa, čo platí pre veľkosť nasledujúceho člena postupnosti z_k+1 :

Použili sme pritom modifikovanú trojuholníkovú nerovnosť (lemu 2).

Teraz využijeme, predpoklad vety a to, že |c| ≤ 2:

|z_k| > 2 ≥ |c|

Vynásobíme poslednú nerovnosť číslom (–1) a dostaneme:

–|z_k| < –2 ≤ –|c|

Z toho vyplýva, že –|c| > –|z_k| .

Ak teraz k poslednej nerovnosti pripočítame číslo |z_k|², dostaneme

Ak spojíme nerovnosť (1) a (2) dostaneme:

|z_k+1| > |z_k|² – |z_k| = (|z_k| – 1) |z_k|

Teda

Keďže |z_k| > 2, bude |z_k| – 1 > 1. Teda činiteľ v zátvorke vo vzťahu (3) je väčší ako 1. Ak ním vynásobíme číslo |z_k|, ktoré je väčšie ako 2, bude súčin zaručene väčší ako 2. Preto bude zrejme číslo z_k+1 spĺňať vzťah |z_k+1| > |z_k| > 2.

Teraz by sme mohli rovnakú argumentáciu ako pre číslo z_k použiť aj pre číslo z_k+1, lebo preň platí |z_{k + 1}| > 2. Dostali by sme, že

Ak uvážime nerovnosť (3), dostaneme

Tento postup možno zopakovať ľubovoľne veľa krát. Pre veľkosť člena postupnosti z_k+n môžeme takto napísať dve zovšeobecnenia:

Z nich vyplýva, že všetky členy postupnosti nasledujúce za k–tym členom už majú veľkosť väčšiu ako 2.

Ďalej súčiniteľ v zátvorke vzťahu (6) je väčší ako 1. To znamená, že postupnosť veľkostí je rastúca, t.j. |z_k| < |z_k+1| < |z_k+2| < |z_k+3| < |z_k+4| . . .

Ako však ukázať, že veľkosti členov postupnosti rastú nad všetky medze?

Na to použijeme malý trik. Budeme potrebovať nejakú pomocnú postupnosť {d₀, d₁, d₂, d₃, ...} reálnych čísel, o ktorej budeme s istotou vedieť, že rastie nad všetky medze. Ukážeme, že každý člen postupnosti {|z_k|, |z_k+1|, |z_k+2|, |z_k+3|, ...} je vždy väčší ako jemu zodpovedajúci člen pomocnej postupnosti, t.j. ukážeme, že pre každé n platí

d_n < |z_k+n |

To bude znamenať, že ak nad všetky medze rastie pomocná postupnosť, tak musí nad všetky medze rásť aj postupnosť, ktorú vyšetrujeme.

Stačí už len nájsť takú pomocnú postupnosť a ukázať, že má vyhovujúce vlastnosti.

Označme teda symbolom q reálne číslo q = |z_k| – 1. Budeme uvažovať pomocnú geometrickú postupnosť d_n = qⁿ |z_k|.

Pritom q je jej kvocient. Keďže q > 1, táto geometrická postupnosť rastie nad všetky medze.

Vráťme sa ku vzťahu (7):

|z_k+n| > (|z_k+n–1| – 1) (|z_k+n–2| – 1). . . (|z_k+1| – 1) (|z_k| – 1) |z_k|

Keďže |z_k+1| > |z_k|, bude zrejme platiť aj |z_k+1| – 1 > |z_k| – 1 = q, teda

|z_k+1| – 1 > q

Podobne sa dá ukázať, že
|z_k+2| – 1 > q, |z_k+3| – 1 > q, ... , |z_k+n–1| – 1 > q.

Všetky súčinitele v zátvorkách vzťahu (7) okrem |z_k| – 1 sú väčšie ako q. Preto

|z_k+n | > qⁿ |z_k|

Podarilo sa nám teda dokázať, že pre každé n platí d_n < |z_k+n|.

To znamená, že postupnosť komplexných čísel {z₀, z₁, z₂, z₃, ...} spĺňajúca predpoklady vety, rastie v prípade, že |c| ≤ 2, nad všetky medze.

b.) Prípad |c| > 2

Nie je ťažké vidieť, že v tomto prípade je prvým členom postupnosti, ktorý má väčšiu veľkosť ako 2, už člen z₁ = c.

Pre nasledujúci člen bude platiť:

|z₂| = |z₁² + c| = |c² + c| ≥ |c|² – |c| = (|c| –1)|c|

Využili sme pritom znovu modifikovanú trojuholníkovú nerovnosť (lema 2). Posledná zátvorka je väčšia ako 1 (lebo |c| > 2), takže bude zrejme platiť, že

|z₂| > |c| > 2

Pre nasledujúci člen budeme môcť zapísať:

|z₃| = |z₂² + c| ≥ |z₂|² – |c| > |z₂|² – |z₂| = (|z₂| – 1)|z₂|

Okrem lemy 2 sme teraz využili aj fakt, že |z₂| > |c| a teda –|c| > –|z₂|.

Člen v zátvorke je znovu väčší ako 1, takže aj pre z₃ bude platiť:

|z₃| > |z₂| > |c| > 2

Navyše

|z₃| > (|z₂| – 1)(|c| –1)|c|

Takto by sa dalo pokračovať do nekonečna.

Tým by sme dokázali, že pre n–tý člen postupnosti platí:

|z_n| > |z_n–1| > . . . > |z₃| > |z₂| > |c| > 2

|z_n| > (|z_n–1| – 1) . . . (|z₂| – 1) (|c| – 1) |c|

Z toho vyplýva, že postupnosť veľkostí členov vyšetrovanej postupnosti je rastúca. To, že rastie nad všetky medze sa dokáže podobne, ako v časti a.) dôkazu. Stačí porovnať túto postupnosť s geometrickou postupnosťou s kvocientom väčším ako 1, ktorá zaručene diverguje. Nechceme sa opakovať a preto dokončenie dôkazu prenecháme na čitateľa.

q.e.d.