Späť Virtuálne laboratórium Ďalej

D. Skúsme si to!

OBSAH:

Úvod

A.
Mandelbrotova množina z nadhľadu


B.
Čo sú to komplexné čísla?


C.
Operácie s komplexnými číslami


D.
Skúsme si to!


E.
Jedna obyčajná funkcia


F.
Mandelbrotova množina


G.
Algoritmus


H.
Odkazy


Predpokladáme, že keď ste sa v čítaní stránok dostali až sem, mali by ste ovládať základné operácie s komplexnými číslami. Tieto operácie sme "naučili" uskutočňovať aj nasledujúci Java applet.




Ovládanie appletu

Okno appletu obsahuje:

  • Obrázok, pomocou ktorého zadávate komplexné čísla na základe určenia veľkosti a smeru ich vektorov. Do tohto obrázku program tiež vykreslí vektor výsledného komplexného čísla. Veľkosť jedného dielika štvorcovej siete je 1.

  • Na pravej strane nájdete tri oddelené bloky. Do horného nesúceho názov OPERÁCIA zadávate úkon, ktorý chcete vykonať s komplexnými číslami. Do bloku s názvom TVAR, zadáte, či chcete počítať pomocou uhlov, alebo bez nich. A nakoniec pomocou tretieho bloku s názvom ZOOM, v ktorom sú tlačíka so znamienkami + a si môžete obraz buď približovať, alebo vzďaľovať. V dolnej časti appletu sa zobrazujú aktuálne hodnoty čísel a a b a výsledku c.

Na nasledujúcej sérii úloh by ste si mali precvičiť základné operácie s komplexnými číslami a utvrdiť svoje chápanie.

ÚLOHA D1: Súčet

Zistite, aký výsledok dostaneme, keď sčítame komplexné čísla (3 + 4*i) a (–1 + i). K správnemu výsledku dospejete nasledujúcim spôsobom: V grafickom okne appletu vidíte 3 vektory. Pri každom z nich je buď písmeno a, alebo písmeno b, alebo písmeno c. Písmeno a označuje prvé číslo, ktoré budeme zadávať, písmeno b označuje druhé zadávané číslo a vektor, pri ktorom nájdeme písmeno c je výsledný vektor.

Po spustení programu je vektor a vyznačený červenou farbou. Keď prídeme myškou nad vektor, kurzor sa zmení zo "šípky" na "ruku". To znamená, že stlačením ľavého tlačidla myši a súčasným premiestňovaním kurzora (ťahanie myši po podložke) môžete meniť veľkosť a smer tohto vektora. Jeho aktuálne x-ové a y-ové súradnice kontrolujete v dolnej časti appletu. (V našom konkrétnom prípade posúvajte kurzor tak, aby ste dosiahli x-ovú súradnicu rovnú 3 a y-ovú súradnicu rovnú 4. V dolnej časti appletu by mala byť vypísaná hodnota čílsa a 3,0000 + 4,0000*i).

Po nastavení pozície vektora a, musíte nastaviť ešte pozíciu vektora b. Ale ten je vyznačený čiernou farbou a po premiestnení myši nad jeho koniec sa nič nedeje. Keď však na akékoľvek miesto na obrázku kliknete ľavým tlačidlom myši, vektor a sa zafarbí načierno a vektor b na červeno. Čiže teraz je pripravený na zmenu polohy vektor b. Ďalej postupujte obdobným spôsobom ako pri vektore a. V dolnej časti appletu by malo byť pre b vypísané -1,0000 + 1,0000*i. Ak chcete opäť zmeniť vektor a, znovu kliknete ľavým tlačidlom myši na obrázok.

Teraz v bloku OPERÁCIE vyberte možnosť SÚČET (ak nie je vybratá).

V bloku TVAR si zvoľte možnosť (v našom prípade možnosť ALGEBRAICKÝ).

Po tomto úkone by výsledný vektor c mal označiť správny výsledok, ktorý bude taktiež napísaný v dolnom okienku určenom pre písmeno c. Mal by tam byť tento výsledok: (2,0000 + 5,0000*i).

Pomocou tlačidiel so znakmi "+" a "–" môžeme obraz buď zväčšovať, alebo zmenšovať.

Späť na applet ...

ÚLOHA D2: Rozdiel

Čísla z úlohy C1 teraz odčítajte (od prvého druhé). Stačí zmeniť položku OPERÁCIA na ROZDIEL. Aký výsledok ste získali? Je to (4,0000 + 3,0000*i)?

Späť na applet ...

ÚLOHA D3: Súčin

Aký je súčin čísel z úlohy C1? Zmeňte položku OPERÁCIA na SÚČIN. Dostali ste (–7,0000 – 1,0000*i)? Overte či platí vzorec pre reálnu a imaginárnu časť výsledku uvedený na predchádzajúcej stránke v časti venovanej súčinu komplexných čísel! Prepnite teraz položku TVAR KOMPLEXNÉHO ČÍSLA na GONIOMETRICKÝ. Pozrite sa aké uhly zvierajú čísla a a b s reálnou osou. Aký uhol by malo zvierať s touto osou číslo c? Naozaj ho zviera? A čo veľkosti? Je veľkosť čísla c súčinom veľkostí čísel a a b? Použite kalkulačku!

Všimnite si, že čísla b a c zvierajú navzájom rovnaký uhol ako číslo a s osou x. Chyťte myšou číslo b (malo by byť vysvietené na červeno) a meňte jeho uhol s osou x. Všimnite si, že nech ho meníte akokoľvek, uhol medzi ním a výsledkom c sa nemení.

Nastavte teraz číslo b na hodnotu (1,0000 + 0,0000*i). Akú hodnotu má výsledok c? Je to logické a dalo sa to očakávať?

Späť na applet ...

ÚLOHA D4: Vzťah i*i = –1

Overte, že i*i je –1! Aby sa vám s číslami lepšie manipulovalo, zopárkrát stlačte tlačítko + v bloku ZOOM, aby ste si obrázok zväčšili. Vyslovte pravidlo na konštrukciu druhej mocniny komplexného čísla!

Späť na applet ...

ÚLOHA D5: Podiel

S tými istými číslami ako v úlohe C1 zistite podiel a/b. Mali by ste dostať výsledok (0,5000 - 3,5000*i). Overte, že veľkosť vektora c je podielom veľkostí vektorov a a b. (Potrebné prepnúť na GONIOMETRICKÝ TVAR.) Overte, že uhol vektora c s osou x je rozdielom uhlov vektorov a a b. Ak vám to náhodou nevychádza, skúste k výsledku pripočítať 360°. Prečo to potom vychádza?

Myšou meňte teraz vektor b a sledujte, čo sa deje s vektorom c. Nastavte vektor b na rovnakú hodnotu ako má vektor a. Aký je vtedy vektor c? Dalo sa to čakať? Čo sa deje s vektorom c ak vektor b zmenšujete a približujete k vektoru (0 + 0*i)?

Späť na applet ...

Myslíme si, že teraz, po absolvovaní všetkých týchto úloh nastáva pravý čas na to, aby sme sa pozreli na niečo zložitejšie. Pozrieme sa ako fungujú na množine všetkých komplexných čísel funkcie.


Späť Virtuálne laboratórium Ďalej