B. Feynmanova konštrukcia kužeľosečiek

OBSAH:

Teraz sa oboznámime s veľmi pekným praktickým spôsobom konštrukcie elipsy a hyperboly. Tento geometrický postup spomína svetoznámy fyzik Richard Feynman vo svojej prednáške venovanej obehu planét okolo Slnka a preto ho budeme nazývať Feynmanova konštrukcia kužeľosečky. Ako uvidíme, dá sa pomocou nej v princípe zostrojiť aj parabola.

Nasledujúci JAVA applet slúži na animáciu Feynmanovej konštrukcie kužeľosečky. Spustite si ho. Ako sa vlastne vykresľuje červená krivka? Prečo je to elipsa? Neprišli ste na to? Nevadí! Čoskoro sa to napraví. Pokračujte popisom Feynmanovej konštrukcie nasledujúcim za appletom.

Popis Feynmanovej konštrukcie

Dané sú dva pevné body v rovine, F a F'. Uvažujme bod G', ktorý sa pohybuje okolo bodu F po kružnici s polomerom r, tzv. riadiacej kružnici. Pre každú polohu bodu G' zostrojíme bod P nasledujúcim spôsobom: Zostrojíme úsečku F'G' a jej os o. Bod P leží v prieniku priamky FG' a osi o.

V závislosti na tom, aká je veľkosť polomeru r riadiacej kružnice, bude bod P popisovať buď elipsu, alebo hyperbolu. V ďalšom sa pozrieme na vec podrobnejšie.

Pokyny pre prácu s Java appletom

Konštrukcia elipsy

Ponechajte úvodné nastavenia (2a=10, 2e=5) a stlačte tlačítko SPUSTI. Začne animácia konštrukcie elipsy, ktorú popisuje bod P. Čo platí pre súčet vzdialeností |F'P| a |FP|? Animáciu zastavíte stlačením tlačítka ZASTAV. Teraz skúste zmeniť hodnoty 2a resp. 2e, napríklad na hodnoty (2a=10, 2e=8). Ako sa zmení vykresľovaná elipsa? Sami si vyskúšajte niekoľko vlastných kombinácií hodnôt. Program bude vykresľovať elipsu vždy, keď 2a > 2e.
Späť na applet

Applet bude vykresľovať hyperbolu, ak nastavíte hodnoty 2a, 2e tak, že 2a<2e. Skúste naledujúcu kombináciu hodnôt: (2a=7, 2e=10). Čo platí pre rozdiel vzdialeností |F'P| a |FP|? Sami si overte, že aj pre iné dvojice zodpovedajúce horeuvedenej podmienke dostanete hyperbolu.
Späť na applet

Najťažšie je pochopiť, ako možno pomocou Feynmanovej konštrukcie zostrojiť parabolu. Vieme už, že keď zvolíme 2a>2e, dostaneme elipsu, a keď zvolíme 2a<2e, dostaneme hyperbolu. Parabolu teda môžeme dostať len v zostávajúcom prípade, keď 2a=2e. Skúste si teda do appletu dosadiť hodnoty (2a=2e=10) a spustite kreslenie. Akú krivku opisuje bod P?
Späť na applet

Pravdepodobne ste sklamaní. Vyzerá to tak, že parabola sa Feynmanovou konštrukciou nedá zostrojiť. Našťastie to tak len vyzerá. Parabolu možno zostrojiť, len je to trochu ťažšie. Preto to urobíme postupne, v dvoch krokoch. V prvom si zavedieme do konštrukcie nový bod F'' -- obraz bodu F v osovej súmernosti s priamkou t -- dotyčnicou ku kužeľosečke. V druhom kroku sa dostaneme potom k samotnej konštrukcii.

Uvažujme o krivke, ktorú popíše obraz bodu F v osovej súmernosti s priamkou t -- bod F''. Nie, nemýľte sa, obrazom bodu F nie je len JEDEN bod. Keďže sa priamka t neustále MENÍ (teda mení sa os súmernosti), bude bod F'' vždy iný. Skúste si to! Zvoľte (2a=10, 2e=8), zaškrtnite na applete zaškrtávacie políčko KRESLIŤ OBRAZ OHNISKA F a stlačte tlačítko SPUSTI. Po akej krivke sa pohybuje bod F''? Viete vysvetliť PREČO? Porovnajte túto krivku čo do TVARU aj do VEĽKOSTI s riadiacou kružnicou, po ktorej sa pohybuje bod G'. Overte, či vaše závery platia aj pre iné voľby parametrov (2a, 2e)!
Späť na applet

Teraz k samotnej konštrukcii paraboly. Ukážeme, že parabolu získame ako limitný prípad elipsy. Zvoľte teraz na applete (2a=100, 2e=98) a stlačte tlačítko SPUSTI. Bod F' sa tým posunie ďaleko doľava, takže ho už vôbec nie je vidieť. Riadiaca kružnica je taká veľká, že ju tiež nie je vidno. Bod F'' sa pohybuje (ako ste to ukázali v predchádzajúcom odseku) po kružnici s priemerom 100 a stredom v bode F', ďaleko vľavo. Časť tejto kružnice je vidno na obrazovke. Všimnite si, že táto krivka je veľmi málo zakrivená, takže sa veľmi HRUBO podobá na priamku. Aká je vzdialenosť bodu F od tejto krivky?
Späť na applet

Nastavte teraz (2a=1000, 2e=998) a stlačte tlačítko SPUSTI. Bod F' sa posunul doľava desaťkrát ďalej ako bol. Riadiaca kružnica sa desaťkrát zväčšila. Znovu je možné vidieť časť krivky (kružnice), po ktorej sa pohybuje bod F''. Tentoraz sa skoro vôbec nelíši od priamky. Vzdialenosť bodu F od tejto "priamky" sa nezmenila. Je stále 2.
Späť na applet

Konečne sa dostávame ku PARABOLE. Tvrdíme, že krivka, po ktorej sa pohybuje bod P sa blíži ku parabole. Argumenty? Porovnajte vzdialenosť bodu P od bodu F so vzdialenosťou bodu P od "priamky", po ktorej sa pohybuje bod F''. Všimnite si, že pre všetky polohy bodu P na červenej krivke sa tieto vzdialenosti kvôli vlastnostiam osovej súmernosti rovnajú. Záver? Čím viac sa časť krivky, po ktorej sa pohybuje bod F'' podobá ne priamku, tým viac sa podobá krivka, po ktorej sa pohybuje bod P na parabolu.
Späť na applet