E. Niečo pre matematických maniakov

OBSAH:

Úloha, koľko ľudí treba zhromaždiť, aby to, že aspoň dvaja z nich majú rovnaký dátum narodenín, bolo pravdepodobnejšie ako opak, môže mať aj všelijaké obdoby. Tu je jedna z nich:

Po krátkom premýšľaní by malo byť zrejmé, že tu neide o nič nové. Namiesto toho, aby nastala zhoda medzi aspoň dvoma dňami narodenín (dní narodenín je 365), má nastať zhoda medzi dvoma hodinami narodenia v roku (takých hodín je )

Nájsť dvoch ľudí, ktorí majú okrem dňa rovnakú aj hodinu narodenia, je určite omnoho ťažšie a bude na to potrebné zhromaždiť určite viac ľudí.

Dá sa ukázať, že na to, aby bola pravdepodobnosť zhody dňa aj hodiny narodenia viac ako 0,5 potrebujeme minimálne počet ľudí daný približným vzťahom

kde N je v našom prípade 8760 hodín narodenia v roku. N predstavuje teda počet všetkých tých vecí, ktoré sa môžu u ľudí v skupine zhodovať. Ak za N dosadíme 8760, vyjde nám . Tento výsledok možno overiť aj presným výpočtom, takým, aký sme použili na riešenie pôvodného problému.

Ak za N dosadíme počet dní v roku, N = 365, vyjde nám počet ľudí . Vzorec teda vyzerá byť v poriadku.

Úloha pre vás: Odvoďte ho! Nájdite aj podmienky jeho platnosti.