C. Teoretické odvodenie

OBSAH:

Majme v miestnosti n ľudí. Označme symbolom A_n jav:

A_n: „Aspoň dvaja z n ľudí majú narodeniny v ten istý deň.”

Ako to často býva, jednoduchšie bude vypočítať pravdepodobnosť opačného javu :

B_n: „Žiadni dvaja ľudia z n ľudí nemajú narodeniny v ten istý deň.“

Využijeme to, že keďže javy A_n a B_n sú navzájom opačné, tak pre ich pravdepodobnosti platí

Sústredíme sa teraz na výpočet pravdepodobnosti javu B_n. Budeme predpokladať, že ľudia sa rodia rovnako pravdepodobne v každom z 365 možných dátumov v roku. (Vylúčime pre jednoduchosť z hry všetkých, ktorí sa narodili 29. februára v prestupnom roku a oslavujú narodeniny každé štyri roky.)

Nebudeme rovno počítať pravdepodobnosť javu B_n. To by bolo na začiatok ťažké. Začneme jednoduchšie. Vypočítame najprv pravdepodobnosť javu B₂: „Žiadni dvaja ľudia z 2 ľudí nemajú narodeniny v ten istý deň.“ Ak má prvý z nich nejaký dátum narodenia, druhý už musí mať iný. Môže si „vybrať“ z 365 – 1 = 364 dátumov. Pravdepodobnosť, že jeho dátum nebude rovnaký ako dátum prvého, bude

Teraz sa pozrieme na jav B₃: „Žiadni dvaja ľudia z 3 ľudí nemajú narodeniny v ten istý deň.“ Pravdepodobnosť javu, že druhý má iný dátum narodenín ako prvý je, ako sme už povedali, . Pravdepodobnosť javu, že tretí má iný dátum narodenia ako prví dvaja, je už len . Ak žiadni dvaja ľudia v skupine nemajú mať rovnaké narodeniny, tak musia tieto dva javy nastať zároveň. Musíme preto vypočítať pravdepodobnosť ich prieniku. Keďže tieto dva javy sú nezávislé, vypočítame pravdepodobnosť ich prieniku ako súčin ich pravdepodobností:

Podobne môžeme pokračovať ďalej a dopracovať sa až k javu B_n:

Potom pravdepodobnosť pôvodného javu A_n je:

V tabuľke dole je uvedený prehľad pravdepodobností . Z neho je vidieť, že ak je v miestnosti aspoň 23 ľudí, bude už pravdepodobnejšie, že aspoň dvaja z nich majú narodeniny v ten istý deň, ako opak.

Na nasledujúcej stránke sa pozrieme na to, ako súvisí pravdepodobnosť s relatívnou početnosťou. Konkrétne odpovieme na otázku, v koľkých skupinách nájdeme zhodu narodenín, ak skupiny majú po 30 ľudí a je ich 10?