A. Odhadnite pravdepodobnosť!

OBSAH:

Našu úlohu je najlepšie riešiť nepriamo. Najprv vyriešime podúlohu:

Aká je pravdepodobnosť, že v skupine n ľudí sú aspoň dvaja s rovnakými narodeninami?

Ak budeme pre každé n poznať pravdepodobnosť, nebude už ťažké určiť také n, pre ktoré je už pravdepodobnosť javu väčšia ako 0,5.

Najjednoduchší spôsob, ako si s tým bez veľkého premýšľania poradiť, je byť konkrétny, vybrať si nejaký počet n, napríklad 30, a pomocou prieskumu veľkého počtu skupín po 30 ľudí zistiť, ako často sa v nich nachádzajú aspoň dvaja ľudia s rovnakým dátumom narodenín. Keď bude počet skupín veľký, bude sa takto získaná relatívna početnosť blížiť k pravdepodobnosti javu, že v skupine 30 ľudí sa nachádzajú aspoň dvaja s rovnakým dátumom narodenín.

Ak vaša škola obsahuje aspoň 20 tried, v ktorých je aspoň 30 žiakov, môžete sa na takýto prieskum podujať. Každopádne takýto prieskum vám zaberie dosť veľa času, ale môže byť pre vás užitočnou skúsenosťou.

My tu pôjdeme inou cestou. V nasledujúcom bádaní využijeme schopnosť počítača rýchlo generovať náhodné čísla.

Bádanie 1:
V políčku POČET ĽUDÍ V SKUPINE je zadané číslo 30 (ktoré sa dá zmeniť). Stlačte tlačidlo GENERUJ NARODENINY a počítač pre vás v novom okne vygeneruje dátumy narodenín triedy 30 fiktívnych žiakov. Sú medzi nimi aspoň dvaja s rovnakým dátumom narodenín?

Bádanie 2:
Teraz, keď ste si odskúšali, ako funguje náhodné generovanie narodenín, nastal čas na skutočné experimentovanie. Vygenerujte 50 krát (stlačením tlačítka GENERUJ NARODENINY) skupinu 30 žiakov. Na papier si zaznamenajte čiarku, keď vo vygenerovanej skupine nastala zhoda narodenín u aspoň dvoch ľudí. Keď vygenerujete 50 skupín, spočítajte všetky čiarky a získate počet pokusov, v ktorých jav nastal. Vydeľte ho počtom všetkých pokusov (50) podľa nasledujúceho vzťahu čím získate relatívnu početnosť f₃₀ skúmaného javu, ktorá vám poslúži ako odhad jeho pravdepodobnosti:

Je v skupine 30 ľudí pravdepodobnejšie ako opak, že sa tam nájdu aspoň dvaja ľudia s rovnakými narodeninami? Stavili by ste sa s niekým, že nejaká náhodne vybraná skupina 30 ľudí, obsahuje aspoň dvoch s rovnakým dátumom narodenín? Stavili by ste sa aj v pomere 24 : 10? (Chápte to takto: Vy položíte na stôl 24 korún a on 10. Kto vyhrá, berie všetko.)

Čo ďalej? Dokonca aj tento spôsob experimentálneho určovania pravdepodobností, je veľmi pomalý. Na vyriešenie našej úlohy potrebujeme zostrojiť tabuľku pravdepodobností zhody narodenín pre skupiny s počtom ľudí od 1 do, dajme tomu, 50. Keby sme ju robili terajším spôsobom, trvalo by nám to veky.

Na nasledujúcej stránke necháme počítač robiť za nás ešte viac. Zostrojíme tam potrebnú tabuľku pravdepodobností a vyriešime tým aj našu úlohu.