A. Blikne alebo neblikne?
OBSAH:
ÚvodA.
Blikne alebo neblikne?
B.
Odkazy
Zadanie paradoxu
Uvažujme dve rovnobežné vodivé koľajnice, ktoré sú na jednom konci otvorené, ale na druhom konci sú spojené cez žiarovku a zdroj jednosmerného napätia (obr.1). Jedna z koľajníc má pravouhlú zvislú odbočku s pokojovou dĺžkou 2 metre. Medzi koľajnicami sa bez trenia pohybuje vozíček v tvare písmena H, ktorého dve zvislé ramená A a B sú vodivé a ich vodorovné prepojenie je z dobrého izolátora. Pokojová dĺžka vozíčka je tiež 2 metre.
 |
| Obr.1. Pohľad zo sústavy koľajníc. |
Keď sa obe zvislé ramená vozíčka nachádzajú naľavo od odbočky v hornej koľajnici (viď obr.1), je nimi elektrický obvod uzavretý a žiarovka svieti. Preskúmame zo "sústavy koľajníc" a zo "sústavy vozíčka", čo sa bude diať so žiarovkou, keď sa bude vozíček pohybovať rovnomerne do prava, rýchlosťou v vzhľadom na koľajnice. Predpokladáme, že trenie a elektrická interakcia sú také malé, že počas svojho pohybu vozíček nemení hybnosť.
V sústave koľajníc je pohybujúci sa vozíček relativisticky skrátený. V okamihu, keď rameno A stráca kontakt s hornou koľajnicou sa vozíček nachádza v polohe znázornenej na obr.1. Potom nasleduje istý časový interval, počas ktorého obe ramená A a B nemajú kontakt s hornou koľajnicou a obvod je rozpojený. Žiarovka by preto mala prestať svietiť, až pokým sa zvislé rameno B znovu nedotkne hornej koľajnice a obvod sa tak znovu neuzavrie. V sústave koľajníc teda žiarovka zhasne na istý čas Tvyp a potom znovu začne svietiť.
 |
| Obr.2. Pohľad zo sústavy vozíčka. |
V sústave vozíčka sa žiarovka s celým obvodom pohybuje doľava. V dôlsedku toho bude pravouhlá odbočka v hornej koľajnici relativisticky skrátená (viď obr.2). Keďže je teraz vozíček dlhší ako odbočka, v sústave vozíčka nenastane okamih, v ktorom by žiadne zo zvislých ramien A a B nemalo kontakt s hornou koľajnicou, keďže B sa dotkne hornej koľajnice ešte predtým ako s ňou A stratí kontakt. Obvod je spojený vždy cez aspoň jedno z ramien. Preto sa v sústave vozíčka obvod nikdy nerozpojí a žiarovka by nikdy nemala prestať svietiť.
Tento záver je paradoxný. Žiarovka nemôže v jednej sústave bliknúť a v druhej nie. Preto rozhodnite: Blikne, či neblikne? Dúfame, že vám pri rozhodovaní pomôžu nasledujúce bádania s Java appletom.
Java applet
|
|
Ovládanie appletu
Applet zobrazuje animáciu pohybu vozíčka po koľajniciach pozorovanú v dvoch vzťažných sústavách. Vpravo dole si môžete v ponuke vybrať sústavu laboratória, v ktorej sú koľajnice v pokoji a sústavu rakety v ktorej je v pokoji vozíček.
Polohy udalostí môžete v animácii merať tak, že nad bod, ktorého polohu chcete určiť, umiestnite kurzor myši. Poloha bodu sa zobrazí v ľavej dolnej časti okna. Poloha je udaná v metroch.
Čas je v animácii zobrazovaný v pravej hornej časti okna. Čas meriame v svetelných metroch. (Svetelný meter je čas, ktorý potrebuje svetlo na prejdenie dráhy 1 meter). Ak budete chcieť čas niektorej udalosti odmerať presnejšie, môžete animáciu zastaviť pomocou tlačidla PRERUŠIŤ a potom ju krokovať v smere dopredu alebo dozadu pomocou tlačidiel << alebo >>.
Celú animáciu môžete posúvať vo vodorovnom smere tak, že ju jednoducho budete ťahať myšou (počas ťahania má byť ľavé tlačidlo myši stlačené). Napríklad, ak nastavíte sústavu laboratória a potiahnete celú animáciu doprava, mali by ste zbadať žiarovku a batériu.
Vzájomnú rýchlosť vozíčka a koľajníc nastavíte v textovom poli rýchlosti v dolnej časti appletu. Potom, čo zadáte do políčka hodnotu, musíte stlačiť tlačidlo RESET, aby sa applet o tejto hodnote dozvedel.
Bádania s appletom
Podstatné pre rozriešenie paradoxu je to, že žiarovka nereaguje okamžite na to, čo sa deje v oblasti pravouhlej odbočky v hornej koľajnici. Jediný spôsob, akým sa môže žiarovka "dozvedieť" o tom, čo sa tam deje, je to, že počká, pokým k nej nedoletia elektromagnetické signály s informáciou. V ďalšom budeme predpokladať, že tieto signály sa šíria rýchlosťou svetla.
|
Bádanie 1 – Pozorujeme v sústave laboratória |
|
Bádanie 2 – Meriame polohy a časy v sústave laboratória Teraz zostrojte ďalšiu tabuľku s časmi a polohami nasledujúcich štyroch udalostí: (a) Signál "rozpojené v B" dorazil k žiarovke, (b) Signál "rozpojené v A" dorazil k žiarovke, (c) Signál "spojené v B" dorazil k žiarovke, (d) Signál "spojené v A" dorazil k žiarovke. Udalosti v tabuľke zoraďte podľa rastúceho času. V akom poradí nastanú? Je rozumné na základe toho očakávať, že žiarovka blikne? Akú hodnotu má čas Tvyp počas ktorého je žiarovka v sústave laboratória úplne zhasnutá? Späť na applet ... |
|
Bádanie 3 – Pozorujeme v sústave rakety |
|
Bádanie 4 – Meriame polohy a časy v sústave rakety Teraz zostrojte ďalšiu tabuľku s časmi a polohami nasledujúcich štyroch udalostí: (a) Signál "rozpojené v B" dorazil k žiarovke, (b) Signál "rozpojené v A" dorazil k žiarovke, (c) Signál "spojené v B" dorazil k žiarovke, (d) Signál "spojené v A" dorazil k žiarovke. Udalosti v tabuľke zoraďte podľa rastúceho času. V akom poradí nastanú? Je rozumné na základe toho očakávať, že žiarovka blikne? Akú hodnotu má čas T'vyp počas ktorého je žiarovka v sústave rakety úplne zhasnutá? Je tento výsledok v zhode s tým, čo by ste očakávali, ak uvážite dilatáciu času?
Doplňujúca úloha 1: Lorentzova transformácia
Doplňujúca úloha 2: Priestoročasové diagramy |
|
Bádanie 5 – Nastal čas predpovedať! Teraz predpovedzte polohy a časy ďalších štyroch udalosti v sústave laboratória: (a) Signál "rozpojené v B" dorazil k žiarovke, (b) Signál "rozpojené v A" dorazil k žiarovke, (c) Signál "spojené v B" dorazil k žiarovke, (d) Signál "spojené v A" dorazil k žiarovke. Aj tieto údaje zostavte do tabuľky a zoraďte ich vzostupne podľa času. Tabuľku doplnte aj všeobecnými vyjadreniami časov a polôh. Nájdite všeobecný vzťah pre čas Tvyp, počas ktorého je žiarovka v sústave laboratória úplne vypnutá. Teraz použite applet a zistite, či boli vaše predpovede správne! Prejdite teraz v mysli do sústavy rakety a predpovedzte časy a polohy nasledujúcich štyroch udalostí: (1) Rameno B stráca kontakt s hornou koľajnicou, (2) Rameno A stráca kontakt s hornou koľajnicou, (3) Rameno B obnovuje kontakt s hornou koľajnicou, (4) Rameno A obnovuje kontakt s hornou koľajnicou. Podobne ako v bádaní 2 zapíšte svoje predpovede do prehľadnej tabuľky s jedným stĺpcom navyše pre všeobecné vyjadrenia časov a polôh. Zostáva ešte v sústave rakety predpovedať časy a polohy udalostí: (a) Signál "rozpojené v B" dorazil k žiarovke, (b) Signál "rozpojené v A" dorazil k žiarovke, (c) Signál "spojené v B" dorazil k žiarovke, (d) Signál "spojené v A" dorazil k žiarovke. Aj tieto údaje zostavte do tabuľky a zoraďte ich vzostupne podľa času. Tabuľku doplnte aj všeobecnými vyjadreniami časov a polôh. Nájdite všeobecný vzťah pre čas T'vyp, počas ktorého je žiarovka v sústave rakety úplne vypnutá. Porovnajte tento vzťah so vzťahom pre čas Tvyp. Je pomer týchto časov taký, aký by ste očakávali? Teraz použite applet a zistite, či boli vaše predpovede pre rýchlosť 0,5 správne! Späť na applet ... |
Vzorové riešenie
Ak chcete zistiť, či ste úlohy na tejto stránke vyriešili správne, môžete si tu stiahnuť ich vzorové riešenie.