A. Princíp najmenšieho účinku interaktívne

OBSAH:

Úvod

Vyhoďme zvislo nahor od zeme (z nulovej výšky) jablko. Požadujme, aby sa o 3 sekundy neskôr jablko vrátilo do našej dlane v rovnakej (nulovej) výške, z ktorej sme ho vyhodili. Ako sa bude jablko pohybovať medzi udalosťami vyhodenia a chytenia? V akej výške možno jablko nájsť v ľubovoľnom čase? Alebo, ak chceme otázku vyjadriť v odbornejšej terminológii: Aká bude svetočiara jablka medzi jeho vypustením a chytením? Na tieto otázky odpovieme pomocou princípu najmenšieho účinku.

Účinok S pre pohyb jablka pozdĺž svetočiary spájajúcej dve pevné udalosti definujeme nasledujúcim spôsobom:

Veličinu L nazývame lagranžián. V jednoduchých prípadoch sa lagranžián rovná rozdielu medzi kinetickou energiou T a potenciálnou energiou V, čiže L = T – V. V tomto interaktívnom učebnom texte budeme skutočnú hladkú svetočiaru aproximovať svetočiarou zloženou zo spojených priamych úsekov. Počítač potom vynásobí hodnotu (T – V) na každom úseku prírastkom času t prislúchajúcim tomuto úseku a všetky získané súčiny spočíta. Tým získa približnú hodnotu účinku S na celej svetočiare. Našou úlohou bude potom posúvať krajné body jednotlivých úsekov svetočiary tak, aby to vyústilo do minimálnej celkovej hodnoty účinku S.

V ďalšom budeme predpokladať, že hmotnosť jablka je 0,2 kg.

Tiež budeme predpokladať, že ste zoznámení s pojmami zrýchlenie, energia a svetočiara.

Applet č.1: Ručná poľovačka na svetočiaru s najmenším účinkom

Nájdite svetočiaru jablka, ktorej prislúcha minimálna hodnota účinku. Aby ste to mohli robiť rýchlo, použite nasledujúci interaktívny Java applet, ktorý vám umožní ľahko manipulovať so svetočiarou. Myšou môžete posúvať tri čierne hraničné body priamych úsekov na svetočiare smerom nahor a nadol. Všimnite si, že applet poskytuje nasledujúce možnosti:

• Výšku a čas ľubovoľného miesta (udalosti) na diagrame môžete určiť tak, že nad toto miesto presuniete kurzor myši. Súradnice tejto udalosti sa objavia v pravej dolnej časti appletu.

• Súčasne applet zobrazuje vľavo dole aktuálnu hodnotu celkového účinku S. Pod ním je zobrazená minimálna hodnota účinku S_min dosiahnutá do tohto okamihu posúvaním bodov svetočiary nahor a nadol.

• Vaším cieľom je nájsť svetočiaru, pre ktorú je celkový účinok minimálny. V prípade pohybu nášho jablka najmenšia hodnota účinku je záporné číslo, preto majte na pamäti, že minimálna hodnota účinku je najzápornejšia.

Začnite s počiatočnou svetočiarou ležiacou vodorovne na spodku priestoročasového diagramu. (Stlačte tlačidlo RESET, ak ste už s appletom manipulovali.)

Presuňte teraz kurzor nad jeden z troch čiernych hraničných bodov (udalostí) a začnite ho ťahať nahor. Čo sa deje s hodnotu účinku S zobrazenou v dolnej časti appletu? Pokračujte v ťahaní toho istého bodu nahor.

Presunte teraz ten istý bod do takej výšky, v ktorej má účinok minimálnu hodnotu. Potom začnite ťahať hore a dole ďalší hraničný bod. Vďaka hodnote S_min môžete okamžite zistiť, kedy ste minuli výšku s minimálnym účinkom, pretože táto hodnota sa vtedy prestane meniť.

Nastavte polohu tohto druhého bodu tak, aby ste dosiahli opäť celkový minimálny účinok. Nakoniec sa presuňte nad posledný, tretí bod a urobte s ním to isté. Keď dosiahnete takú polohu tohto bodu, ktorej prislúcha minimálny účinok, predpovedzte, aká bude odpoveď na nasledujúcu otázku:

Vyskúšajte teraz ťahať prvý bod nahor a nadol. Ako znie správna odpoveď na predchádzajúcu otázku? Bola vaša predpoveď správna?

Teraz opakovane prechádzajte každým z troch hraničných bodov a mente jeho výšku dovtedy, kým preň nedosiahnete minimálnu (najzápornejšiu) hodnotu účinku. BUĎTE TRPEZLIVÍ. Je naozaj cenné a dôležité, aby ste prešli týmto manuálne únavným procesom aspoň raz. Po mnohých kolách postupujúc zaradom cez všetky tri body, dosiahnete stav, keď už ďalšie posúvanie hociktorého z bodov nezmenší hodnotu účinku. Túto hodnotu minimálneho účinku pre výslednú svetočiaru si zapíšte.

Svetočiara, ktorú ste práve zostrojili, spĺňa podmienku najmenšieho účinku. Presnejšie: dáva najmenší účinok zo všetkých svetočiar zložených zo štyroch úsekov rovnomerne rozložených pozdĺž časovej osi.

Applet č.2: Automatická poľovačka na svetočiaru s najmenším účinkom

Samozrejme svetočiara zložená zo štyroch priamych úsekov nie príliš realistická. Druhý applet je trochu lepší, lebo svetočiara v ňom obsahuje oveľa viac priamych úsekov. Ak máte chuť, môžete znovu začať ručnú poľovačku na svetočiaru s minimálnym účinkom tak, že budete postupne posúvať každý z množstva hraničných bodov novej svetočiary. Lenže život je krátky a počítače boli vymyslené a vyrobené preto, aby rýchlo vykonávali mechanickú a pre nás únavnú rutinnú prácu. Nechajme preto radšej počítač, aby našiel svetočiaru s minimálnym účinkom sám a to tým istým spôsobom, ako sme to pred chvíľou robili my sami — opakovaným posúvaním jednotlivých bodov.

Kliknite na tlačidlo POĽUJ. Počítač začne veľmi rýchlo, zaradom a cyklicky posúvať jednotlivé body svetočiary. Bude tak automaticky poľovať na svetočiaru s minimálnym účinkom. Tento proces je možné kedykoľvek zastaviť kliknutím na ZASTAV a znovu v ňom pokračovať opätovným stlačením tlačidla POĽUJ alebo vrátiť všetko do počiatočného stavu kliknutím na RESET. Keď sa účinok prestane počas automatickej poľovačky zmenšovať, zapíšte si jeho minimálnu hodnotu a tiež hodnotu maximálnej výšky jablka.

Pochopiteľne svetočiara s veľkým počtom priamych úsekov nie je celkom to isté ako skutočná hladká, spojito sa meniaca svetočiara, zložená z nekonečného počtu priamych úsekov. Počítač nedokáže vykonať minimalizáciu účinku pre nekonečný počet hraničných bodov. S istou dávkou predstavivosti si dokážete určite predstaviť, že čím viac hraničných bodov, (a teda priamych úsekov) pridávame, tým viac sa bude svetočiara podobať na skutočnú, plynulo sa meniacu svetočiaru a tým bližšie bude hodnota účinku k hodnote zodpovedajúcej tejto skutočnej svetočiare.

Druhý applet sa od prvého odlišuje aj v tom, že vám umožňuje meniť tiež výšky začiatočnej a koncovej udalosti svetočiary. Potiahnite myšou koncovú udalosť do výšky 5 metrov. Všimnite si, že pri tom, ako ťaháte koncovú udalosť nahor, applet automaticky mení škálu zvislej osi. Robí to tak, aby svetočiara s minimálnym účinkom vošla do diagramu. Predtým, ako stisnete tlačítko POĽUJ, odpovedzte na nasledujúcu otázku:

Applet č. 3: Pohyb s konštantným zrýchlením v homogénnom gravitačnom poli.

Pomocou nasledujúceho appletu ukážte, že pre svetočiaru s najmenším účinkom je zrýchlenie jablka, zodpovedajúce každej dvojici za sebou idúcich priamych úsekov svetočiary, konštantné, teda že pohyb jablka sa riadi druhým Newtonovým pohybovým zákonom.

V tomto applete pribudla napravo tabuľka, v ktorej nájdete zrýchlenie pre každú dvojicu po sebe idúcich úsekov zobrazenej svetočiary. Kliknite na tlačidlo POĽUJ, čím spustíte automatické poľovanie na svetočiaru s minimálnym účinkom. Keď sa svetočiara prestane meniť, stlačte tlačidlo ZASTAV. Akú hodnotu má konštantné zrýchlenie?

Applet č.4: Konštantná hodnota mechanickej energie pre svetočiaru s najmenším účinkom

Pomocou nasledujúceho appletu ukážte, že v prípade pohybu popísaného svetočiarou s najmenším účinkom má jablko na všetkých úsekoch svetočiary konštantnú mechanickú energiu.

V tomto prípade applet zobrazuje v tabuľke vpravo celkovú energiu E = T + V pre každý úsek zobrazenej svetočiary. Kliknite na tlačidlo POĽUJ a nájdite svetočiaru minimálneho účinku. Zapíšte si hodnotu konštantnej energie.

Applet č.5: Inkrementálny princíp najmenšieho účinku.

Mechanika sa zvyčajne vyučuje pomocou druhého Newtonovho zákona F = ma. Aká je súvis medzi F = ma a princípom najmenšieho účinku, ktorým sme sa tu zaoberali? Richard Feynman má na túto otázku jasnú odpoveď:

Existuje rozdiel v samotnej podstate zákona, ktorý hovorí, že určitý integrál, braný z jedného bodu do druhého, má minimum (t.j. hovorí niečo o celej dráhe), a zákona, ktorý hovorí, že pri pohybe existuje sila spôsobujúca zrýchlenie. Ten druhý prístup hovorí o každom kroku na dráhe, zatiaľ čo ten prvý prístup poskytuje integrálne tvrdenie o celej dráhe. . . . Predpokladajme, že máme takúto pravú dráhu, ktorá prechádza nejakým bodom a v priestore a čase, ako aj blízkym bodom b. Ak celý integrál od t₁ do t₂ je minimálny, potom musí byť minimálnym aj integrál na krátkom úseku z a do b. Nemôže sa stať, že by integrál na úseku medzi a a b nebol minimálny. Ak by sa to totiž malo stať, stačilo by, aby ste vhodne pozmenili dráhu v tomto malom intervale, a tým by ste vlastne trochu zmenšili celý integrál. Každá časť dráhy musí teda tiež predstavovať minimum. To musí platiť pre ľubovoľne malý úsek dráhy. Preto princíp hovoriaci, že celá dráha dáva minimum, možno formulovať aj tak, že infinitezimálny úsek dráhy tiež predstavuje krivku, na ktorej je účinok minimálny. . . . Preto je vlastne tvrdenie o integrálnej vlastnosti celej dráhy tvrdením o tom, čo sa odohráva na maličkom úseku dráhy — je to teda diferenciálny výrok. . . . Také je kvalitatívne vysvetlenie súvislosti medzi integrálnym zákonom a diferenciálnym zákonom.

V stručnosti, Feynamn hovorí, že ak celej svetočiare prislúcha minimálny účinok v porovnaní s možnými blízkymi svetočiarami, tak aj každému malému úseku tejto svetočiary musí prislúchať minimálny účinok v porovnaní s možnými blízkymi malými úsekmi.

Na tomto poslednom applete si budete môcť overiť Feynamnove tvrdenia. Budete posúvať jedným bodom svetočiary a sledovať ako sa menia účinky na priľahlých malých priamych úsekoch po oboch stranách ťahaného bodu. Tiež budete sledovať aký to má vplyv na účinok prislúchajúci celej svetočiare.

Začnite tým, že sa pohrajte s tlačidlami ZVÄČŠIŤ, ZMENŠIŤ, ŤAHAŤ ZVÄČŠOVACIE OKNO a UKOTVIŤ ZVÄČŠOVACIE OKNO, ktoré vám umožňujú detailne sledovať okolie ľubovolnej udalosti svetočiary.

Tento diagram demonštruje, že keď celej svetočiare prislúcha minimálny účinok, tak minimálny účinok prislúcha aj každému jej úseku. Prečo je to dôležité? Pretože, ako hovorí Feynman, spája to princíp najmenšieho účinku s Newtonovým zákonom pre zrýchlenie F = ma. Matematickým rozborom účinku na dvojici priľahlých priamych úsekov svetočiary, s akými sme sa stretli v tomto applete, možno pomocou elementárneho diferenciálneho počtu odvodiť zákon F = ma. Podrobnosti nájdete v článku Classroom derivation of Newtonian mechanics from the principle of least action od Jozefa Hanča, Slavomíra Tuleju a Martiny Hančovej na webovej stránke:

Naša doterajšia snaha môže byť odmenená ešte štedrejšie: Takzvané Lagrangeove rovnice predstavujú ďalšie, všeobecnejšie vyjadrenie Newtonových pohybových zákonov. Sú zovšeobecnením známeho zákona F = ma. Ak sa chcete s Lagrangeovými rovnicami zoznámiť na elementárnej úrovni, na horeuvedenej stránke nájdete článok odvodzujúci Lagrangeove rovnice z princípu najmenšieho účinku.