Prosím vyčkajte, pokým sa animácia úplne nenačíta.
Bernoulliho rovnica vyjadruje zákon zachovania energie v sústave pozostávajúcej z ideálnej kvapaliny. Predpokladajte, že kvapalina v potrubí je ideálna (poloha je daná v metroch a tlak v Pa). Tmavomodrou farbou je v animácii označená istá časť prúdiacej vody, ktorá vteká do oblasti označenej dvoma zvislými tenkými čiernymi čiarami (vľavo dole a vpravo hore) a zodpovedajúca časť vody, ktorá musí z oblasti vytiecť napravo hore. Prebádame súvislosť medzi Bernoulliho rovnicou a zákonom zachovania energie. Reštarujte.
Všimnite si spôsob, akým zapisujeme v applete tlak. Napríklad atmosferický tlak 1,01.105 Pa, je zapísaný ako 1.01e+005.
Vzťah medzi rýchlosťou a rozmermi tmavomodro označených častí kvapaliny sa riadi rovnicou kontinuity (čo vteká, musí aj vytiecť, ak samozrejme potrubie nepreteká!): Sv = konšt, kde S je plocha prierezu trubice a v je rýchlosť kvapaliny v danom mieste. Predpokladajte, že trubice majú valcový tvar.
Vypočítajte objem oboch tmavomodro vyznačených častí vody (mal by byť rovnaký!)
Aký rýchlosť má voda v ľavej trubici?
Aká je plocha prierezu ľavej trubice?
Akú rýchlosť má kvapalina opúšťajúca vyznačenú oblasť (v pravej trubici)?
Aká je plocha prierezu pravej trubice?
Je splnená rovnica kontinuity?
Uvažujme teraz oblasť kvapaliny napravo od začiatku ľavého dolného tmavomodrého úseku a naľavo od konca pravého horného tmavomodrého úseku. Počas animácie sa celý tento objem kvapaliny posunie. Dôležité je si uvedomiť, čo sa s našou oblasťou kvapaliny vlastne udialo medzi začiatkom a koncom animácie. Áno, celá sa posunula. Ale dá sa na to pozrieť aj inak! Jediné, čo sa v skutočnosti zmenilo, je to, že kvapalina, ktorá bola na začiatku v ľavom dolnom tmavomodrom úseku sa počas animácie premiestnila tam, kde je na konci animácie pravý tmavomodrý úsek. Všetka ostatná kvapalina (tá ktorá sa nachádza medzi dvoma zvislými čiernymi čiarami) je na začiatku animácie v úplne rovnakom stave ako na konci. Preto stačí uvažovať len to, čo sa deje s tmavomodro vyznačenou kvapalinou.
Na to, aby mohla kvapalina potrubím pretiecť tak, ako to znázorňuje animácia, musí okolitá voda vykonať istú prácu, ktorá presunie kvapalinu v tmavomodrej oblasti vľavo dole na začiatku animácie, do miesta, kde sa nachádza tmavomodrá časť kvapaliny vpravo hore na konci animácie. Pritom dôjde aj k zmene rýchlosti kvapaliny. Táto vykonaná práca sa musí rovnať zmene súčtu kinetickej a potenciálnej energie tmavomodrých častí kvapaliny.
Pomocou pohyblivých červených indikátorov tlaku môžete zistiť tlak v rôznych miestach trubice. Zo známeho tlaku nájdite silu, ktorou pôsobí zľava na ľavú dolnú tmavomodrú časť kvapaliny ostatná kvapalina.
Akú prácu táto sila vykoná počas trvania animácie?
Podobne nájdite silu, ktorou pôsobí proti pravej hornej tmavomodrej časti kvapaliny kvapalina, ktorá sa nachádza od nej napravo.
Akú prácu vykoná táto sila počas trvania animácie (všimnite si, že keďže táto sila a posunutie majú opačné smery, bude vykonaná práca záporná)?
Aká výsledná práca sa teda vykoná počas trvania animácie na vode ohraničenej začiatkom ľavej dolnej tmavomodrej oblasti a koncom pravej hornej tmavomodrej oblasti?
Vypočítajte rozdiel kinetických energií tmovomodrých oblastí kvapaliny. Všimnite si, že keďže majú rovnaký objem, majú aj rovnakú hmotnosť. (Hustota vody je 1000 kg.m3.)
Vypočítajte rozdiel potenciálnych energií tmavomodrých oblastí vody. Za polohu každej tmavomodrej oblasti vezmite polohu jej ťažiska. Rovná sa výsledná práca rozdielu súčtu kinetickej a potenciálnej energie?
Toto všetko popisuje Bernoulliho rovnica.
Ukážte, že celková práca sa rovná (pvľavo – pvpravo) Svt.
Ukážte, že celková zmena kinetickej energie je (1/2) ρSvt (vvpravo2 – vvľavo2).
Ukážte, že celková zmena potenciálnej energie je ρgSvt (yvpravo – yvľavo).
Pritom p je tlak, ρ je hustota kvapaliny, v je rýchlosť prúdenia kvapaliny, S je prierez trubice, t je čas, a y je výška kvapaliny nad nulovou úrovňou. Ak tieto tri členy dáme dokopy, získame
(pvľavo – pvpravo) = (1/2)ρ(vvpravo2 – vvľavo2) + ρg(yvpravo – yvľavo),
alebo Bernoulliho rvnicu, p + 1/2ρv2 + ρgy = konštanta. Vidíme teda, že Bernoulliho rovnica je jednoducho len iný spôsob ako zapísať zákon zachovania energie.
Autorka: Anne J. Coxová.