Späť Virtuálne laboratórium Ďalej

D. Prečo to nevychádza vždy tak ako má?

OBSAH:

Úvod

A.
Odhadnite pravdepodobnosť!


B.
Hľadanie hranice


C.
Teoretické odvodenie


D.
Prečo to nevychádza vždy tak ako má?


E.
Niečo pre matematických maniakov


F.
Odkazy

Opäť obráťme pozornosť na skupinu s 30 ľuďmi. Vieme, že v takejto skupine je pravdepodobnosť zhody narodenín 0,7063. To znamená, že keby niekto preskúmal 10 takýchto skupín, mal by nájsť zhodu narodenín v, teda v siedmich skupinách.


Predstavte si teraz, že niekto naozaj preskúma 10 takýchto skupín a zistí, že zhoda narodenín nastala v 5 skupinách. Znamená to problém? Je teória pravdepodobnosti len teóriou a nemá s reálnym svetom nič spoločné?


Samozrejme že nie! Ako to? Aby sme odpovedali, znovu využime teóriu pravdepodobnosti. Musíme si len spresniť, čo budeme teraz rozumieť pod náhodným pokusom a čo bude skúmaný jav.


Náhodným pokusom sa pre nás stane preskúmanie nejakých (vždy iných) 10 skupín po 30 ľudí. Výsledkom tohto pokusu bude počet skupín, v ktorých sme zaznamenali zhodu narodenín. Stále bude vychádzať nejaký iný počet, ale aj v týchto výsledkoch je zákonitosť, ktorú teraz odhalíme.


Aká je pravdepodobnosť javu, že zhodu zaznamenáme v k skupinách? Odpoveď nájdeme využitím Bernoulliho schémy. Ak označíme pravdepodobnosť výskytu zhody narodenín v jednej skupine p (vieme už, že p = 0,7063), bude hľadaná pravdepodobnosť daná vzťahom



keďže sa má zhoda narodenín k krát vyskytnúť a (10 – k ) krát nevyskytnúť. Kombinačné číslo vo vzťahu reprezentuje počet výberov tých skupín z 10 skupín, v ktorých jav nastal.


V nasledujúcej tabuľke je prehľad pravdepodobností pre všetky možné hodnoty k.


$temporaryMax) { $temporaryMax=getProb($i,$m,$n); $mostProbableIndex=$i; } } $minIndex=$mostProbableIndex; $maxIndex=$mostProbableIndex; $limit=0.9; $sum=getProb($mostProbableIndex,$m,$n); while(($sum<$limit)){ if(($maxIndex==$m)&&($minIndex==0)){ break; } else if($maxIndex==$m){ $sum+=getProb($minIndex-1,$m,$n); $minIndex--; } else if($minIndex==0){ $sum+=getProb($maxIndex+1,$m,$n); $maxIndex++; } else if(getProb($minIndex-1,$m,$n)>getProb($maxIndex+1,$m,$n)){ $sum+=getProb($minIndex-1,$m,$n); $minIndex--; } else{ $sum+=getProb($maxIndex+1,$m,$n); $maxIndex++; } } $probOccurence=0; for($i=$minIndex; $i<=$maxIndex;$i++){ $probOccurence+=getProb($i,$m,$n); } echo ""; echo ""; for($i=0; $i<=$m; $i++){ if($i==$mostProbableIndex) echo ""; else echo ""; echo ""; echo ""; echo ""; } echo "
kP(k)
"; if(($i>=$minIndex)&&($i<=$maxIndex)) echo "".$i.""; else echo $i; echo ""; if(($i>=$minIndex)&&($i<=$maxIndex)) printf("% 5.6f",getProb($i,$m,$n)); else printf("% 5.6f",getProb($i,$m,$n)); echo "
"; ?>


Otázka 1:
V koľkých skupinách nastane zhoda najpravdepodobnejšie?


Otázka 2:
Je pravdepodobnosť toho, že zhoda narodenín nastane v 5 skupinách omnoho menšia ako pravdepodobnosť toho, že nastane v siedmich?


Hrubo sú v tabuľke označené hodnoty k od 5 po 9, všetko v okolí hodnoty k = 7. Ak spočítame dokopy ich pravdepodobnosti, dostaneme pravdepodobnosť 0,9262. Je to pravdepodobnosť javu, že zhoda narodenín nastane najmenej v 5 a najviac v 9 skupinách. To znamená, že je len veľmi málo pravdepodobné, že by zhoda nastala v menej ako piatich alebo vo viac ako deviatich, čiže vo všetkých 10 skupinách.


Ak teda vieme, že zhoda narodenín nastáva v skupine 30 ľudí s pravdepodobnosťou 0,7063, znamená to vlastne to, že skoro určite (s pravdepodobnosťou 0,9262, čo je skoro istota) sa pri preskúmaní 10 skupín vyskytne v počte skupín od 5 do 9, čo je .


Množinu čísel od 5 do 9 nazveme množina pravdepodobných počtov výskytu zhody narodenín. Bola nájdená tak, že sme zobrali čo najmenší počet hodnôt k okolo najpravdepodobnejšej hodnoty k = 7, tak, aby ich celková pravdepodobnosť bola viac ako 0,9.


Definujme užitočný pojem relatívna šírka množiny pravdepodobných počtov výskytu zhody narodenín podľa vzťahu



V našom konkrétnom prípade je .


Otázka 3:
Pomocou formulára pod týmto odstavcom preskúmajte ako závisí relatívna šírka množiny pravdepodobných počtov výskytu zhody narodenín od počtu preskúmaných skupín. Zadajte za počet skupín hodnoty 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400 a 500. Počítač vždy pre vás vygeneruje tabuľku, podobnú tej, ktorú ste videli vyššie a hrubo vyznačí hodnoty k patriace do množiny pravdepodobných počtov výskytu zhody. Tiež vypíše im zodpovedajúcu celkovú pravdepodobnosť.


Zadajte parametre pokusu:
Počet ľudí v skupine:
Počet vygenerovaných skupín:

Otázka 4:
Odhadnite, akú hodnotu by mala relatívna šírka w, keby sme preskúmali nekonečne veľa skupín po 30 žiakov!


Otázka 5:
Na základe výsledku Otázky 3 vysvetlite, prečo pravdepodobnosť funguje výborne na popis veľkých štatistických súborov a horšie na popis malých súborov?





Späť Virtuálne laboratórium Ďalej